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Gleichförmige Kreisbewegung

Eine gleichförmige Kreisbewegung liegt immer dann vor, wenn sich eine Masse mit konstanter Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit) auf einer Kreisbahn bewegt. Die Tangentialbeschleunigung ist dabei gleich null.

Die gleichförmige Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Um das zu verdeutlichen, bietet sich die Vektorrechnung an. Die folgenden Abbildungen sollen das verdeutlichen.

Es ändert sich in der Zeit von t1 bis t2 der Ort des Punktes (nicht eingezeichnet, aber vom Anfang des violetten Pfeils bis zum Ende), damit die Strecke (violett eingezeichnet) und die Richtung des Geschwindigkeitsvektors (Tangentialrichtung, siehe oben; rot eingezeichnet), aber nicht seine Länge (also der Betrag der Geschwindigkeit, deshalb konstante Bahngeschwindigkeit). Trotzdem würde der Punkt nicht dort ankommen, wo er am Ende ankommt. Dieser wird nämlich zum Kreisinneren beschleunigt. Folgende Abbildung soll das zeigen, nachdem die Geschwindigkeitsvektoren an einen Anfangspunkt angelegt worden sind:

Nun lässt sich die sog. Zentripetalbeschleunigung oder auch die sog. Radialbeschleunigung entweder mithilfe der Vektorrechnung (Vektorsubtraktion) berechnen oder auch normal herleiten:

In beiden Abbildungen ist der gleiche Winkel, dieser sei beliebig klein um die Ungenauigkeit der Krümmung und Nichtkrümmung möglichst klein zu halten, am Ende fällt der Winkel sowieso weg.

Hat man die Winkel im Bogenmaß (ggf. umrechnen 2π = 360°), kann man die Streckendifferenz mit folgender Formel berechnen (siehe dazu erste Abbildung): 

 I

Dann berechnet sich ähnlich mit (siehe dazu zweite Abbildung):

II

Da der Winkel gleich ist, können beide Formeln nach   umgestellt und dann gleichgesetzt werden.

I        II

Durch einen mathematischen Trick erhält man, nachdem man auf beiden Seiten durch geteilt hat:

Nachdem durch r geteilt worden ist, erhält man:

Wählt man die Zeit t möglichst klein, hat man auf der linken Seite der Gleichung Strecke pro Zeit, also noch einmal Geschwindigkeit.

 

Entscheidend ist jetzt aber, das Ergebnis auf der rechten Seite zu deuten. Es bedeutet Geschwindigkeitszunahme oder -abnahme pro Zeiteinheit. Das kommt der allgemeinen Vorstellung von Beschleunigung sehr nahe. Man sieht aber noch etwas daran, nämlich, dass Geschwindigkeit nach der Zeit abgeleitet gleich Beschleunigung sein muss.

Damit ist die Deutung auch mathematisch bewiesen.

Die Formel ist also:

Nachdem die Beschleunigung zum Kreisinneren, also die Radialbeschleunigung hergeleitet worden ist und somit geklärt ist, warum eine gleichförmige Kreisbewegung immer eine beschleunigte Bewegung ist, wird sich im zweiten Teil einigen Definitionsfragen gewidmet.

 

Umlaufzeit

Die Umlaufzeit T ist die Zeit, die benötigt wird, um einmal eine vollständige Kreisbahn zu beschreiten. Sie kann direkt gemessen werden oder man teilt einfach die Zeit, die man für eine bestimmte Anzahl von Umläufen benötigt, durch eben diese Anzahl. Es gilt also:

Die Einheit von Zeit ist immer – wie auch hier – Sekunden (s).

 

 

Frequenz

Der Wert der Frequenz f gibt die Anzahl der Umläufe n pro Sekunde an. Das heißt, hat man pro Sekunde einen halben Umlauf, hat man die Frequenz 0,5 Hz (Hertz). Anders ausgedrückt: Man benötigt zwei Sekunden für einen Umlauf, dann ist die Frequenz gleich ein Umlauf pro zwei Sekunden.

Setzt man in diese Formel in den Grundeinheiten ein, so erhält man die Einheit , was nach dem Physiker Heinrich Hertz auch 1 Hz genannt wird.

 

Geschwindigkeit

Bahngeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit wurde schon ohne größere Erläuterungen bei der Herleitung der Radialbeschleunigung verwendet. Sie ist einfach der Weg, den ein Körper oder Punkt auf der Kreisbahn in einer bestimmten Zeit zurücklegt. Da ein beliebiger Weg und eine beliebige Zeit nicht immer leicht messbar sind, nimmt man die Zeit und den Weg für einen Umlauf. Der Weg ist einfach der Kreisumfang und berechnet sich mit . Die Umlaufzeit ist T (siehe oben) . Mit Geschwindigkeit ist gleich Weg pro Zeit ergibt sich also:

Die Einheit ist, weil man für r einen Wert in Meter und für T einen in Sekunden einsetzt, .

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, in der sich der Winkel   („Phi“) zwischen den Radiusvektoren ändert (so vorzustellen: ein Punkt auf der Kreisbahn wird zum ersten Zeitpunkt mit dem Mittelpunkt verbunden und zu einem zweiten Zeitpunkt, der Winkel dazwischen ist der Winkel ). Die Änderung des Winkels pro Zeit ist die Winkelgeschwindigkeit   „Omega“.

Wieder – wie schon bei der Bahngeschwindigkeit – ist es ungünstig, einfach irgendwo den Winkel und die Zeit zu messen. Man benutzt die Werte eines vollen Umlaufs. Ein Kreisumlauf sind 360°, muss aber im Bogenmaß (Taschenrechner auf Rad stellen) mit   angegeben werden und die Zeit ist wieder die Umlaufzeit T (siehe oben).

Die zweite Beziehung sollte man sich für spätere Herleitungen auf jeden Fall merken. Die Einheiten sind Winkel ohne Einheit durch T in Sekunden:

Die Beziehung zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit ist:

       II 

        II 

Nach der Umformung können die Gleichungen gleichgesetzt werden:

 

 
 
 

 

 
 
 

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